about_R

实数公理

  • 是定义实数的一种途径。所谓实数系就是定义了两种二元运算(加法与乘法)和一种次序关系 $>$ 的集合,并且这些运算和次序满足规定的公理。由这些公理可以推出实数的一切性质。

概述

  • 实数公理是在集合论发展的基础上,由希尔伯特于1899年首次提出的。
  • 后来他所提的公理系统在相容性与独立性方面得到了进一步改进,逐步演变为现在的公理系统。
  • 实数公理来源于实数理论的研究, 实数理论 包括对 实数的结构 , 运算法则拓扑性质等方面问题的研究。
  • 实数集有多重结构,例如:
    • 代数结构 :从代数上看实数集是一个域。
    • 序结构 :实数集是一个有序集。
    • 拓扑结构 :实数集是一个拓扑空间,并且有诸如 完备性 ,可分性,和 列紧性 等一些非常好的性质。
  • 实数理论包含了深刻而丰富的信息,实数理论是 极限论 的基础,也是近代分析数学的最重要基础之一。

实数系的公理系统

  • 设$R$是一个集合,若它满足下列三组公理,则称为 实数系 ,它的元素称为实数:
  • ($I$) 域公理
    • 对任意$a,b∈R$,有R中惟一的元素$a+b$与惟一的元素$a·b$分别与之对应,依次称为$a,b$的和与积,满足:
      • 1.(交换律)对任意$a,b∈R$,有: $a+b=b+a,a·b=b·a$。
      • 2.(结合律)对任意$a,b,c∈R$,有: $a+(b+c)=(a+b)+c,a·(b·c)=(a·b)·c$。
      • 3.(分配律)对任意$a,b,c∈R$,有: $(a+b)·c=a·c+b·c$。
      • 4.(单位元)存在R中两个不同的元素,记为$0,1$分别称为 加法单位元乘法单位元 ,使对所有的$a∈R$,有: $a+0=a,a·1=a$。
      • 5.(逆元)对每个$a∈R$,存在$R$中惟一的元素,记为$-a$,称为 加法逆元 ;对每个$a∈R,a\ne0$,存在$R$中惟一的元素,记为$a^{-1}$,称为 乘法逆元 ,使: $a+(-a)=0。a·a^{-1}=1$。
  • ($II$) 序公理
    • (a)
      • 在任意两个元素$a,b∈R$之间存在一种关系,记为“$>$”,使对任意$a,b,c∈R$,满足:
      • 1.(三歧性)$a>b,b>a,a=b$三种关系中必有一个且仅有一个成立。
      • 2.(传递性)若$a>b$且$b>c$则$a>c$。
      • 3.(与运算的相容性)若$a>b$,则$a+c>b+c$;若$a>b,c>0$则$ac>bc$。
    • (b)
      • 在任意两个元素$a,b∈R$之间存在一种关系,记为“$\geq$”,使对任意$a,b,c∈R$,满足:
      • 1.(反对称性) 若$a\geq b$且,$b\geq a$那么$a=b$。
      • 2.(传递性) 若$a\geq b$且$b\geq c$则$a\geq c$。
      • 3.(与运算的相容性) 若$a\geq b$,则$a+c\geq b+c$;若$a\geq 0$且$b\geq 0$,则$ab\geq 0$。
      • 注:对于序公理$a,b$这两种描述是等价的。因为我们可以通过其中一个符号及其性质来定义另一个符号。
  • ($III$)($1$) 阿基米德公理
    • 也称阿基米德性质,它并不是严格意义上的公理,可以由连续性公理证明。
    • 在欧几里得的几何书中,它仅被描述为一个命题。
    • 阿基米德公理:对任意$a,b∈R,a>0$ 存在正整数$n$,使$na>b$。
  • ($III$)($2$) 完备性公理
    • $R$中的任何基本列都在$R$中收敛。
      • 满足公理组$I$的集为域;
      • 满足公理组$I$与$II$的集为有序域;
      • 满足公理组$I$,$II$与($III$)($1$)的集为阿基米德有序域;
      • 满足公理组$I$~$III$的集为完备阿基米德有序域或完备有序域。
    • 这样, 实数系 就是 完备阿基米德有序域
    • 所有有理数的集合$Q$就是阿基米德有序域,但它不满足完备性公理。
    • 根据域公理,可以定义实数的减法和除法,并证明四则运算的所有性质。
    • 序公理的$1$与$2$表明关系“$>$”是$R$的全序。
    • 用域公理和序公理可以定义正数、负数、不等式、绝对值,并证明它们具有通常的运算性质。
    • 加上阿基米德公理与完备性公理,可以证明实数的其他性质以及幂、方根、对数等的存在性。
  • 实数公理有多种不同的提法,常见的另一种提法是把公理组$III$换成:
  • $(III)^{'}$ 连续性公理(戴德金公理)
    • 若$A,B$是$R$的非空子集且 $A∪B=R$ ,又对任意的$x∈A$ 及任意的 $y∈B$ 恒有$x<y$,则$A$有最大元或$B$有最小元,即存在 $c∈R$,使 $x<c<y$。
    • 这里把戴德金定理用作连续性公理。
  • 另一个常用作连续性公理的确界原理。
    • 公理组$I~III$与公理组$I+II+(III)^{'}$是等价的,(注意不是$III<=>(III)^{'}$)。
    • 完备性公理可以换成闭区间套定理的形式。
    • 类似地,单调收敛定理,聚点原理等也可用作连续性公理。
  • 公理组$II$也有其他提法。
    • 用公理定义了实数系$R$后,可以继续定义$R$的特殊元素正整数、整数等。
    • 例如
      • 由数$1$生成的子加群$Z=\{0,±1,±2,…\}$的元素称为整数;
      • 由数$1$生成的子域$Q=\{\frac{p}{q}\ |\ p,q∈Z,q\ne0 \}$的元素称为有理数。
  • 但这里有一个很微妙的问题,即与 连续性公理 等价的$7$个 实数系的基本定理确界存在定理单调有界定理有限覆盖定理聚点定理致密性定理闭区间套定理柯西收敛准则 )中,并不是每一个都能推出 阿基米德公理 的。
  • 具体来说, 柯西收敛准则闭区间套定理 就是如此,其他5个基本定理则可以推出阿基米德公理。
  • 因此,以连续性公理作为实数公理之一时,阿基米德公理可以去掉,这时连续性和完备性是统一的,所以连续性公理也可以称为完备性公理;
  • 而以柯西收敛准则或闭区间套定理代替连续性公理时,连续性和完备性是分离的,必须补充阿基米德公理,这时柯西收敛准则或比区间套定理就只能称为完备性公理,是为了公理的完备而存在的。
  • 满足这些公理的任何集合$R$,都可被认为是实数集的具体实现,或称为实数模型。
  • 需要说明的是,实数公理下的系统是相容的,范畴的。
  • 从另外一个角度来想,希尔伯特实数公理是自上而下建立数系的,用 公理 规定 实数 ,然后再定义 整数正整数 直至 自然数
  • 那么反过来行不行呢,实数的这些公理能不能从其他的假设中推出来呢?
  • 事实上,这就是实数的 构造理论 所做的事了
  • 菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》的绪论 中,就展示了用 戴德金分割 的方法 从有理数定义无理数 的过程,从而建立了 实数
  • 有理数 是依赖于先建立 整数 的, 整数 又是依赖于先建立 自然数
  • 集合论 发展起来之后, 自然数 又依靠 集合 来定义了(即 皮亚诺公理
  • 集合 是最原始的概念,无法再定义的概念,整个自下而上的过程可以参见 兰道《分析基础》
  • 从此,整个 数学的基础 就建立在了 集合论 之上,数学再也不能排除掉集合这一现代概念了
  • 当英国数学家罗素发现了集合中的罗素悖论之后,引发了第三次数学危机,促使集合论又不得不加以改进,致使 朴素集合论 发展为 近代集合论
  • 现代的数学基础终于建立在了 公理集合论 的基础之上( ZFC公理系统

实数模型

  • 一、戴德金分割(分划)模型
  • 二、柯西数列模型
  • 三、魏尔斯特拉斯十进制小数模型
  • 四、康托尔闭区间套模型(可归入第三个模型)

实数的基本定理

  • 实数系的基本定理 也称实数系的 完备性定理 、实数系的 连续性定理
  • 这些定理分别是:
    • 确界存在定理
    • 单调有界定理
    • 有限覆盖定理
    • 聚点定理
    • 致密性定理
    • 闭区间套定理
    • 柯西收敛准则
  • 7个定理彼此等价,以不同的形式刻画了实数的连续性
  • 它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具,在微积分学的各个定理中处于基础的地位
  • 7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立,只能说明它们同时成立或同时不成立
  • 这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立,从而说明它们同时都成立
  • 引进方式主要是承认 戴德金公理 ,然后证明这7个基本定理与之等价,以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。
  • 在一些论文中也有一些新的等价定理出现,但这7个定理是教学中常见的基本定理。

上(下)确界原理

  • 非空有上(下)界数集必有上(下)确界。

单调有界定理

  • 单调有界数列必有极限。
  • 具体来说:
    • 单调增(减)有上(下)界数列必收敛。

闭区间套定理(柯西-康托尔定理)

  • 对于任何闭区间套,必存在属于所有闭区间的公共点。
  • 若区间长度趋于零,则该点是唯一公共点。

有限覆盖定理(博雷尔-勒贝格定理,海涅-波雷尔定理)

  • 闭区间上的任意开覆盖,必有有限子覆盖。
  • 或者说:闭区间上的任意一个开覆盖,必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。

极限点定理(波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理)

  • 有界无限点集必有聚点。
  • 或者说:每个无穷有界集至少有一个极限点。

有界闭区间的序列紧性(致密性定理)

  • 有界数列必有收敛子列。

完备性(柯西收敛准则)

  • 数列收敛的充要条件是其为柯西列。
  • 或者说:柯西列必收敛,收敛数列必为柯西列。

  • 注:只有充要条件的命题才能称之为“准则”,否则不能称为“准则”。


  • 以上7个命题称为实数系的基本定理。
  • 实数系的7个基本定理以不同形式刻画了实数的连续性,它们彼此等价。
  • 在证明中,可采用 单循环证明 的方式证明它们的等价性。
  • 它们之间等价性的证明可以参看《数学分析札记》。
  • 在闭区间上连续函数的性质的证明中,实数系的基本定理是非常重要的工具,但是它们之间的等价性不能说明它们都成立,必须要有更基本的定理来证明其中之一成立,从而以上的命题都成立,经过反复仔细琢磨,问题就归结为实数的引入问题了。
  • 如在菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》 中,可以用 实数的连续性 来推出 确界定理
  • 在华东师范大学数学系编的《数学分析(上册)》(第四版)中就通过 实数十进制小数形式 推出 确界定理 ,这也说明了建立实数系的严格定义的重要性。
  • 从逻辑上,应该是先建立了 实数 ,有了实数的定义之后,再得出 实数系的基本定理 ,从而能够在 实数域 上建立起严格的 极限理论 ,最后得到严格的 微积分理论
  • 数学历史 的发展恰恰相反,最先产生的是 微积分理论 ,而 严格的 极限理论 是在19世纪初才开始建立的,实数系的基本定理已经基本形成了之后,19世纪末 实数理论 才诞生,这时分析的算数化运动才大致完成。

◎ 欢迎参与讨论,请在这里发表您的看法、交流您的观点。