real_number_1_2

绪论

  • 进位计数法
  • 自然数系
    • 离散的,而非稠密的数系,只能表示单位量的整倍,而无法表示它的部分
    • 只能施行加法和乘法, 而不能自由施行它们的逆运算
  • 分数系
    • 把两个自然数相除所得之商(不论其能否被整除)当作一个数,并引进相应的运算法则
    • 分数系是一个稠密的数系
    • 对于加\乘\除三种运算是封闭的
    • 引入负数和零, 使得减法也通行
    • 最终扩展成为有理数系
  • 有理数系
    • 稠密的,在加减乘除四则运算下封闭的数系
  • 算术连续统
  • 不可通约
  • 不可公度
  • 微积分: 建立在极限运算基础上的变量数学
  • 实数域

预备知识

集合及其运算

  • 集合, $A,B,C,...$
  • 元素, $a,b,c,...\alpha, \beta, \gamma,...$
  • $a$ 属于 $A$, $a\in A$
  • $a$ 不属于 $A$, $a\notin A$
  • $A=\{x|P\}$, 其中 $x$ 是 $A$ 中元素的通用符号, $P$ 代表 $x$ 所具有的性质
    • $A$ 为方程 $x^2-2x-3=0$ 的根的全体
      • $A=\{-1,3\}$
      • $A=\{x|x^2-2x-3=0\}$

定义 1 子集,相等,真子集

  • 若集合 $A$ 的任何元素都是集合 $B$ 的元素,则称 $A$ 包含于 $B$, 或称 $A$ 为 $B$ 的子集, 记为 $A\subseteq B$;
  • 若 $A\subseteq B$, 同时 $B\subseteq A$, 则称 $A, B$ 相等, 记为 $A=B$;
  • 若 $A\subseteq B$, 但 $A \ne B$, 则称 $A$ 真包含于 $B$, 或称 $A$ 为 $B$ 的真子集, 记为 $A\subset B$.

  • 例题
    • $A=\{(x,y)||x|+|y|<1 \}$ (正方形)
    • $B=\{(x,y)|x^2+y^2<1 \}$ (圆的面积)
  • 证明: $A\subset B$
    • 设 $(x,y)\in A$
    • $|x|<|x|+|y|<1$
    • $|y|<|x|+|y|<1$
    • $x^2+y^2=|x||x|+|y||y|<1\cdot |x|+1\cdot |y|=|x|+|y|<1$
    • $\to$ $A\subseteq B$
    • 设 $x_0=\frac{1}{2}$, $y_0=\frac{1}{2}$
    • $|x_0|+|y_0|=1 \notin A$
    • $x_0^2+y_0^2=\frac{1}{2} \in B$
    • $\to A \ne B$
    • $\to A\subset B$

  • 空集, $\phi$, 不包含任何元素的集合
    • $\{x|x$ 是整数, $3x-2=0\}$ = $\phi$

定义 2 和集(并集),交集,差集

  • $A, B$ 为两集, 则集合 $\{x|x\in A \ \ 或\ \ x\in B\}$ 称为 $A$ 与 $B$ 的 和集 (或 并集 ), 记为 $A\cup B$;
  • $A, B$ 为两集, 则集合 $\{x|x\in A \ \ 且\ \ x\in B\}$ 称为 $A$ 与 $B$ 的 交集 , 记为 $A\cap B$;
  • 集合 $\{x|x\in A \ \ 且\ \ x\notin B\}$ 称为 $A$ 与 $B$ 的 差集 , 记为 $A \backslash B$ .

  • 根据定义,有
    • $A\subseteq (A \cup B)$
    • $B\subseteq (A \cup B)$
    • $(A\cap B)\subseteq A $
    • $(A\cap B)\subseteq B$
    • $(A \backslash B)\subseteq A$

集合运算的性质

  1. $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$
  2. $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$
  3. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
  4. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
  5. $A\cap (B\backslash C)=(A\cap B)\backslash (A\cap C)$
  6. 结合率 $(A\cup B) \cup (C\cup D)= A\cup B\cup C\cup D$
  • 证明: $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
    • 任取 $a\in A\cap (B\cup C)$
    • $\to$ $a\in A \ \ 且\ \ a\in B\cup C$
    • $\to$ $a\in A \ \ 且\ \ (a\in B\ \ 或\ \ a\in C)$
    • $\to$ $(a\in A \ \ 且\ \ a\in B)\ \ 或\ \ (a\in A \ \ 且\ \ a\in C)$
    • $\to$ $(a\in A\cap B)\ \ 或\ \ (a\in A\cap C)$
    • $\to$ $a\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$
    • 反过来,任取 $a\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$
    • $\to$ $a\in A\cap B\ \ 或\ \ a\in A\cap C$
    • $\to$ $(a\in A\ \ 且\ \ a\in B)\ \ 或\ \ (a\in A\ \ 且\ \ a\in C)$
    • $\to$ $a\in A\ \ 且\ \ (a\in B\ \ 或\ \ a\in C)$
    • $\to$ $a\in A\ \ 且\ \ a\in (B\cup C)$
    • $\to$ $a\in A\cap (B\cup C)$
    • 证明完毕

补充知识点 全集,补集

  • 全集:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么称这个集合为全集 $(universe set)$,记为 $U$。
  • 补集:对于一个集合 $A$,由全集 $U$ 中不属于集合 $A$ 的所有元素组成的集合,称为集合 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集 $(complementary set)$,简称为集合 $A$ 的补集,记为 $C_U A$ 或 $\sim A$
  • 差集和补集的关系:$A\backslash B=A\cap \sim B$

习题

  • (1)数轴上的点集 $A,B,C$ 定义为
    • $A=\{x||x-1|<2\}$
    • $B=\{x||2x+1|>3\}$
    • $C=\{x||x^2-4x+3|<0\}$
    • 证明 $A\cap B=C$
    • 证明
      • (1)
      • 由 $A=\{x||x-1|<2\}$ $\to$ $-2<x-1<2$ $\to$ $-1<x<3$
      • 由 $B=\{x||2x+1|>3\}$ $\to$ $(2x+1<-3) \cup (2x+1>3)$ $\to$ $(x<-2) \cup (x>1)$
      • 由 $A \cap B \to (-1<x<3) \cap ((x<-2) \cup (x>1))$ $\to$ $1<x<3$
      • (2)
      • 根据一元二次不等式 $\Delta = b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot 1\cdot3=16-12=4>0$ 判断,方程 $|x^2-4x+3|<0$ 有2个不等的实根
      • 根据 $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 推得 $x_0=1, x_1=3$
      • 根据不等式推得 $1<x<3$ 满足不等式的解,即 $C=\{x|1<x<3\}$
      • 证明完毕
  • (2)证明戴.摩根 $(de\ Morgan)$ 公式
    • $X\backslash (A\cup B)=(X\backslash A)\cap (X\backslash B)$
      • $X\backslash (A\cup B)$
      • 设 $a\in (X\backslash (A\cup B))$ ($a$ 是属于该集合的任意元素)
      • $\to$ $a\in X$
      • $\to$ $a\notin (A\cup B)$
      • $\to$ $a\notin A$
      • $\to$ $a\notin B$
      • $\to$ $a\in (X\backslash A)$
      • $\to$ $a\in (X\backslash B)$
      • $\to$ 必有 $a\in (X\backslash A)\cap (X\backslash B)$
      • $\to$ $X\backslash (A\cup B) \subset ((X\backslash A)\cap (X\backslash B))$ 此步骤只证明是真子集
      • $(X\backslash A)\cap (X\backslash B)$
      • 设 $b\in (X\backslash A)\cap (X\backslash B)$ ($b$ 是属于该集合的任意元素)
      • $\to$ $(b\in X \ \ 且\ \ b\notin A)\ \ 且\ \ (b\in X \ \ 且\ \ b\notin B)$
      • $\to$ $(b\in X)\ \ 且\ \ (b\notin A \ \ 且\ \ b\notin B)$
      • $\to$ $(b\in X)\ \ 且\ \ (b\notin (A\cup B))$
      • $\to$ $(b\in X\backslash (A\cup B))$
      • $\to$ $((X\backslash A)\cap (X\backslash B)) \subset X\backslash (A\cup B)$ 此步骤反向证明是真子集
      • 互为真子集,表示两个集合相等。证明完毕。
    • $X\backslash (A\cap B)=(X\backslash A)\cup (X\backslash B)$
      • $X\backslash (A\cap B)$
      • 设 $a \in (X\backslash (A\cap B))$ ($a$ 是属于该集合的任意元素)
      • $\to $ $a\in X\ \ 且\ \ a \notin (A\cap B)$
      • $\to $ $a\in X\ \ 且\ \ ((a \in A \ \ 且\ \ a\notin B)\ \ 或\ \ (a \notin A \ \ 且\ \ a\in B))$
      • $\to $ $(a\in X\ \ 且\ \ (a \in A \ \ 且\ \ a\notin B))\ \ 或\ \ (a\in X\ \ 且\ \ (a \notin A \ \ 且\ \ a\in B))$
      • $\to $ $(a\in (X\cup A)\ \ 且\ \ a\notin B)\ \ 或\ \ (a\in (X\cup B)\ \ 且\ \ a \notin A)$
      • $\to $ $(a\in X\ \ 且\ \ a\notin B)\ \ 或\ \ (a\in X\ \ 且\ \ a \notin A)$
      • $\to $ $(a\in X\backslash B)\ \ 或\ \ (a\in X\backslash A)$
      • $\to $ $(a\in X\backslash B)\cup (a\in X\backslash A)$
      • $\to $ $X\backslash (A\cap B)\subset (X\backslash B)\cup (X\backslash A)$ 此步骤只证明是真子集
      • $(X\backslash A)\cup (X\backslash B)$
      • 设 $b \in ((X\backslash A)\cup (X\backslash B))$ ($b$ 是属于该集合的任意元素)
      • $\to$ $(b\in X\ \ 且\ \ b\notin A)\ \ 或\ \ (b\in X\ \ 且\ \ b\notin B)$
      • $\to$ $b\in X\ \ 且\ \ (b\notin A\ \ 或\ \ b\notin B)$
      • $\to$ $b\in X\cup (b\notin (A\cap B)$
      • $\to$ $b\in (X\backslash (A\cap B))$
      • $\to$ $(X\backslash B)\cup (X\backslash A)\subset X\backslash (A\cap B)$ 此步骤反向证明是真子集
      • 互为真子集,表示两个集合相等。证明完毕。
  • 戴.摩根 $(de\ Morgan)$ 定理的不同表述方式
    • $X\backslash (A\cup B)=(X\backslash A)\cap (X\backslash B)$
    • $\sim (A\cup B)=(\sim A)\cap (\sim B)$
    • $X\backslash (A\cap B)=(X\backslash A)\cup (X\backslash B)$
    • $\sim (A\cap B)=(\sim A)\cup (\sim B)$
  • (3)令 $A\Delta B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)$, 称为集合 $A$ 与 $B$ 的对称差. 证明:
    • $A\Delta (B\Delta C)=(A\Delta B)\Delta C$
      • $(A\Delta B)\Delta C=(A\cap \sim B\cap \sim C)\cup (\sim A\cap B\cap \sim C)\cup (A\cap B\cap C)\cup (\sim A\cap \sim B \cap C)$
      • $A\Delta (B\Delta C)=(A\cap B\cap C)\cup (A\cap \sim B\cap \sim C)\cup (\sim A\cap B\cap \sim C)\cup (\sim A\cap \sim B \cap C)$
      • 根据结合率可知: $(A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)$
      • 推理过程参考
    • $A\Delta B=B\Delta A$
      • 根据结合率可证
  • (4)设 $X=\{a,b\}$ , 考虑 $X$ 的一切子集组成的集合 $\varphi (x)$. 试列表给出 $\varphi (x)$ 上集合的对称差.
    • 尼玛这到底是在问什么?

映射与势

定义 3 映射(或函数)

    • 在集合 $A$ 与 $B$ 之间, 存在一个元素间的对应法则 $f$: 使得对于 $A$ 中任一元素 $a$, 必有 $B$ 中唯一的一个元素 $b$ 与之对应,
    • 则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的一个 映射(或函数) , 记为 $f:A \to B$.
  • $B$ 中的元素 $b$,与 $A$ 中的元素 $a$ 对应,在映射 $f$ 下,$b$ 称为 $a$ 的 , 记作 $f(a)=b$,$a$ 称为 $b$ 的 原像 .
  • 集 $A$ 称为 映射 $f$ 的 定义域
  • 集合 $\{f(a)\mid a\in A\}$ 称为 $f$ 的 值域 ,记作 $f(A)$,它是 $B$ 的一个子集
  • 在一般情况下,$f(A)=B$ 并不成立
  • 若 $f(A)=B$ 则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的映射(简称 $f$ 为 映上的
  • 若 $f(A)\subset B$ 则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的映射(简称 $f$ 为 映入的
  • 不论 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 或到 $B$ 的映射,对于 $b\in f(A)$ 来说,它在 $A$ 内的原像都可以不是唯一的。
  • 设 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 上的映射
    • 若对于任何 $b\in B$,都仅有唯一的 $a \in A$,使 $f(a)=b$,则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 上的 一对一的映射
    • 此时,对于任一 $b\in B$,必有 $A$ 中唯一的一个元素(即 $b$ 的原像)$a$ 与它对应,这个由 $b$ 到 $a$ 的对应,构成了 $B$ 到 $A$ 上的一个映射,称为 $f$ 的 逆映射 ,记为 $f^{-1}$
    • 逆映射 仅当 $f$ 为 一对一的映射 时才存在,且有 $(f^{-1})^{-1}=f$
  • 示例
    • $y=\ln x$ 为 $(0,\infty)$ 到 $(-\infty,\infty)$ 上的一对一的映射
    • $y=e^x$ 为 $(-\infty,\infty)$ 到 $(0,\infty)$ 上的一对一的映射
    • 上述二者互为逆映射

定义 4 映射的积

    • $f$ 是集 $A$ 到集 $B$ 的映射,$f(a)=b$,
    • $g$ 是集 $B$ 到集 $C$ 的映射, $g(b)=c$,
    • 则 $a$ 到 $c$ 的对应确定了一个由 $A$ 到 $C$ 的映射,称为映射 $f$ 和 $g$ 的 , 记为 $g\circ f$.
    • 于是 $(g\circ f))(a)=g(f(a))=g(b)=c$
  • 一个集的任何元素均对应于自身的映射,称为 恒等映射 ,记为 $I$
  • $f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=I$

定义 5 映射的对等(势)

    • 在集合 $A$ 与 $B$ 之间,若存在一个一对一的映射,则称集合 $A$ 与 $B$ 是 对等 的,记为 $A\sim B$
    • 或者说,$A$ 与 $B$ 具有相同的
    • 它满足以下三条:
      • 对于每个集合 $A$,都有 $A\sim A$
      • 若 $A\sim B$,则 $B\sim A$
      • 若 $A\sim B,B\sim C$,则 $A\sim C$
  • 空集 $\phi$ 的势记为 $0$,即 $\overline{\overline{\phi}}=0$
  • $A\sim B \to \overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$
  • 若 $A$ 与 $B$ 不对等,但 $A$ 与 $B$ 的一个子集对等,此时我们称 $A$ 的势小于 $B$ 的势,或称 $B$ 的势大于 $A$ 的势,记作 $\overline{\overline{A}}<\overline{\overline{B}}$ 或 $\overline{\overline{B}}>\overline{\overline{A}}$

定义 6 映射的有限集(无限集)

    • 任何与自然数某一节等势的集,称为 有限集
    • 否则,就称为 无限集 .
    • 空集 规定为 有限集 .
  • 以 $N$ 记自然数全体所成之集,设 $k$ 是任一自然数,以 $N_k$ 记一切不大于 $k$ 的自然数所成之集,称为 自然数(由 $k$ 截得)的 一节
  • 有限集的势,就是我们平常所了解的元素的“个数”
  • 势的相等和大小,就是寻常自然数之间的相等和大小

  • 示例
    • 全体偶数集 $f:2n\to n$ 可与自然数集建立对等关系,因此偶数集与自然数集是等势的
    • 区间 $(0,1)$ 上所有实数通过映射 $f:x\to 100x$ 可与区间 $(0,100)$ 上所有实数建立对等关系,因此 $(0,1)$ 与 $(0,100)$ 上的实数是等势的
    • 假设$NO\ OS\ SP\ $ 皆为 $1$,$\widehat{NP}$ 为 $\theta$,如下图: 图二
    • 可知 $P$ 点的坐标为 $(\sin \theta , 2+ \cos \theta )$
    • 去掉一个点的圆周和无限长直线,作为点集来讲,是等势的
    • 从而得证:一个无限集,可以与它的一个真子集等势 图三

命题 1 势的比较

  1. $A, B$ 是任意两集,$\overline{\overline{A}},\overline{\overline{B}}$ 是它们的势,则关于 $\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}, \overline{\overline{A}}<\overline{\overline{B}}, \overline{\overline{A}}>\overline{\overline{B}}$ 三者必居其一且仅居其一。
  2. 若集 $A$ 的势大于$B$ 的势, $B$ 的势大于 $C$ 的势,则 $A$ 的势大于 $C$ 的势。
  • 对任何两个集,它们的势总是可以比较的
  • 可以像有限集那样,按元素的“个数”的多寡,排列出大小顺序
  • 势为 $\aleph$ 的集,称为 可数集 (可以像自然数那样一个接一个地数出来)
  • 在集合论中, 阿列夫数 ,又称 艾礼富数 ,是一连串 超穷基数
  • 其标记符号为$\aleph$ (由希伯来字母$\ \ aleph\ \ $ 演变而来)加角标表示。
  • 可数集(包括自然数)的势标记为$\aleph _{0}$,
  • 下一个较大的势为$\aleph _{1}$,
  • 再下一个是$\aleph _{2}$,以此类推。
  • 一直继续下来,便可以对任一序数 $\alpha$  定义一个基数 $\aleph _{\alpha }$。
  • 这一概念来自于康托尔,他定义了势,并认识到 无穷集合是可以有不同的势的
  • 阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限 $(\infty)$ 不同。
  • 阿列夫数用来衡量集合的大小,而无限只是在极限的写法中出现,或是定义成扩展的实轴上的端点。
  • 某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数,而无限只是无限而已。

定义 7 映射的序列

    • $f$ 是自然数集 $N$ 到集 $A$ 的一个映射,令 $a_n=f(n)$ 为自然数 $n$ 的像。
    • 若将值域 $f(N)$ 中的全部元素,按其原像(自然数)的大小顺序排列起来,既得 $a_1, a_2, ...$,称为集 $A$ 上的一个 序列.
    • $a_n$ 称为是这个序列的第 $n$ 项
    • 序列常记为 $(a_1,a_2,...)$ 或 $a_n$.

命题 2 可数集

  • 有理数全体组成的集 $Q$ 是一个 可数集
  • 辅助命题
    • $1$ 一集合为可数的充要条件是它的全部元素可以排成序列: $a_1,a_2,...$.
    • $2$ 可数集与可数集(或有限集)的和集仍为可数集。
    • $3$ 可数集的任何无限子集仍为可数集
    • $4$ 自然数偶全体组成的集 $M=\{(m,n)\mid m,n 自然数\}$ 是一可数集
  • 可数集($countable\ set$),是能与自然数集 $N$ 建立一一对应的集合,又称可列集。
  • 如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号,那么可数集的元素就可以按 自然数的顺序 排成一个 无穷序列 $(a_1,a_2,a_3,…,a_n,…)$。
  • 比如
    • 全体正偶数的集合是一个可数集,
    • 全体正奇数的集合也是可数集,它们与自然数集可以建立一一对应。
  • 全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集. 整数集与有理数集都是可数集。
  • 按照基数概念,能一一对应的两个集合的基数相同,于是有理数集、整数集、全体正偶数集等与自然数集有相同的基数。
  • 在这个意义上说,这些集合所含元素是“一样多”,但这些集合又是一个包含另一个作为真子集,所以又不同于有限集元素的“多少”概念。
  • 命题2的证明
    • 以 $Q_{+} ,Q_{-}$ 分别表示正、负有理数集
    • 由于 $Q=Q_{+}\cup \{0\} \cup Q_{-}$
    • 且$Q_{+} ,Q_{-}$ 是对等的
    • 根据 $2$ 只需证明 $Q_{+}$ 为可数集
    • 将 $Q_{+}$ 中任一元素 $\frac{n}{m}$ ($m,n$ 互质且恒为正)与 $4\ M$ 中的元素 $(m,n)$ 对应,知 $Q_{+}$ 与 $M$ 中的无限子集 $M^{'}$ 一对一映射,根据 $3$ 可以知 $M^{'}$ 为可数集,故 $Q_{+}$ 为可数集
    • 证明完毕

命题 3 可数子集

  • 无限集必含有可数子集
  • 可数集乃是“最小”的无限集,$\aleph$ 是最小的无限集的势
  • 无限集没有最大的势

习题

  • 在具有 $n$ 个元素的有限集 $A$ 中,存在多少个集合 $A$ 到自身的映射?
    • 集合到自身的映射,即指恒等映射
    • 一个集的任何元素均对应于自身的映射,称为 恒等映射 ,记为 $I$
    • $f^{-1}\circ f=f\circ f^{-1}=I$
    • 回答:具有 $n$ 个元素的有限集 $A$,只有其自身,即 $1$ 个集合与其自身是恒等映射。
  • $A$ 是具有 $n$ 个元素的有限集,$B$ 是所有 $A$ 的子集所组成的集,证明 $B$ 的势为 $2^n$
    • 排列:(从$m$个不同的元素里,每次取出$n$个元素,以一定的顺序并成一组,均称为排列。其所有不同排列的种数用符号$A_m^n, \ \ \ \ A_m^n=\frac{m!}{(m-n)!}$表示)
    • 组合:(从$m$个不同的元素里,每次取出$n$个元素,不管以怎样的顺序并成一组,均称为组合。其所有不同组合的种数用符号$C_m^n, \ \ \ \ C_m^n=\frac{m!}{(m-n)!n!}$表示)
    • 集合的元素可以任意排,所以用组合.
    • $c_n^0+c_n^1+c_n^2+...+c_n^n=2^n$
    • 乘法原理:假设一个子集,$a_1$在子集中,或者不在子集中,$2$种选择;$a_2$也是两种……$a_n$也是两种选择。所以子集个数为$2^n$。
    • 真子集除去该集合本身,为$(2^n)-1$。非空真子集再除去空集,为$(2^n)-2$
  • 证明辅助命题 $1, 2, 3$
  • $1$ 一集合为可数的充要条件是它的全部元素可以排成序列: $a_1,a_2,...$.
    • 充分条件
      • 所谓 可数 ,就是指集合的元素,可以像自然数那样,一个接一个地加以数出来(即可以排成序列)。
    • 必要条件
      • 全部元素必须能够按照自然数的序列排成序列。所以是必要条件。
  • $2$ 可数集与可数集(或有限集)的和集仍为可数集。
    • 假设 $A$ 为可数集,所以其元素可以与自然数集的每一个自然数一一对应
    • 又假设 $B$ 也为可数集,所以其元素也可以与自然数集的每一个自然数一一对应
    • 则集合 $C=A+B$ 的每一个元素,等于 $A$ 中的 $a_n$ 加 $B$ 的$b_n$ 相加,也是可与自然数集的每一个自然数一一对应
    • 所以集合 $C$ 也是可数集
  • $3$ 可数集的任何无限子集仍为可数集
    • 可数集是可以按照与自然数一一对应的序列
    • 因此,其无限子集仍可以与自然数一一对应
    • 所以,该无限子集仍是可数集
  • 证明命题 $3$ (无限集必含有可数子集)
    • 取一个元素 $a_1$ ,剩下的肯定还是无限集,再取一个元素 $a_2$,剩下的还是无限集 $...$,这样你就取出了一个可数集 $a_1,a_2,...$
  • 找出一个一对一的映射证明单位圆周上的点与区间 $(0,1)$ 上的点等势
    • $f(x)=\frac{1}{x} \ \ \ \ (x\in (0,2\pi))$
    • $f(x)\in (0,1)$
    • $f(x)$ 和 $x$ 一一对应,所以等势
  • 证明自然数集合 $N$ 的一切有限子集组成的集合是个可数集
    • 因为自然数集合 $N$ 的任一有限子集组成的集合,都可以与自然数集合 $N$ 的元素一一对应,所以是可数集
  • 证明可数个数集的并集还是个可数集
    • 因为可数个数的并集的元素,仍然是可数个数,所以仍是可数集
  • 设 $A$ 是一个无限集,$B$ 是 $A$ 的一个可数子集且 $A\backslash B$ 仍为无限集,则 $\overline{\overline{A\backslash B}} =\overline{\overline{A}}$
    • 一对一映射,所以等势
    • 无限集减去一有限子集仍为无限集;
    • 任一无限集与一可数集之并与该无限集间存在双射。

等价关于与分类

  • 依据等价关系对集合中的元素进行分类

定义 8 等价关系

  • 如果在集合 $S$ 的元素之间,定义了一种联系“$\sim$”:它使得 $S$ 中任意两个元素 $a,b$,或者它们之间有着这种关系,记为 $a\sim b$,或者没有这种关系,二者必居且仅居其一,并且它还满足下列三律:
    • 自反律:$a\sim a$
    • 对称律:若 $a\sim b$,则 $b\sim a$
    • 传递律:若 $a\sim b, b\sim c$,则 $a\sim c$
  • 则称上述关系为 $S$ 上的一个 等价关系
  • 设集合 $S$ 为平面上的三角形的全体
  • $S$ 上的关系“$\sim$”定义为两三角形相似
  • 这个“相似关系”满足等价关系三律
  • 所以,这个相似关系,是 $S$ 上的一个等价关系

同余关系

  • 设 $Z$ 为整数集,在 $Z$ 上定义一种同余关系:
    • $m,n$ 为任两整数,若 $m-n$ 可被 $2$ 整除,则称 $m,n$ 为 模 $2$ 同余.
    • 记为 $m\equiv n \pmod{2}$,或 $m-n\equiv 0 \pmod{2}$
    • 整数集 $Z$ 上的这种 模 $2$ 同余关系 是一个 等价关系
      • 证明
        • 自反律 :$m-m=0 可被2整除,故m\equiv m\pmod{2}$
        • 对称律:$n-m=-(m-n),故n-m与m-n有同样的可除性质,从而由 m\equiv n\pmod{2}可推知 n\equiv m\pmod{2}$
        • 传递律 :$若m\equiv n\pmod{2}, n\equiv l\pmod{2},则m-n, n-l均可被2整除$,$由此可知m-l=(m-n)+(n-l)亦可被2整除,这说明m\equiv l\pmod{2}$
  • 整数集 $Z$ 按 模 $2$ 同余关系进行分类,可得两个等价类 $S_0,S_1$
    • 其中
      • $S_0$ 为偶数集,即余数为 $0$ 的集;
      • $S_1$ 为奇数集,即余数为 $1$ 的集;
  • 整数集若按模 $p$ 同余关系进行分类,则可得 $p$ 个等价类
    • 即,余数分别为 $0,1,...,p-1$ 的整数所组成的集合
    • 称为模 $p$ 的同余类
  • 整数集 $Z$ 上的这种 模 $p$ 同余关系 是一个 等价关系 ($p$ 为任意自然数)
  • 设 $S$ 是由所有 有理数序列 $(a_1,a_2,...)$ 所组成的集
  • 在 $S$ 上定义关系“$\sim$”如下:
    • 若两个有理数序列 $(a_1,a_2,...)$ 和 $(b_1,b_2,...)$ 满足 $\lim (b_n-a_n)=0$
    • 则 $(a_1,a_2,...)\sim (b_1,b_2,...)$
    • 可以验证这样定义的关系“$\sim$”,满足等价关系三律
    • 所以,此 $\sim$ 是 $S$ 上的一个等价关系

  • 一个集合 $S$,若在它上面定义了一个等价关系,则它的元素就可以按彼此是否等价去进行分类( 在一个集合中,有多少个等价关系,就有多少个分类
  • 若 $a\sim b$,则称 $a,b$ 属于同一类,否则就称 $a,b$ 不属于同一类
  • 凡与 $a$ 属于同一类的一切元素所成的集合称为以 $a$ 为代表的 等价类 ,记为 $S_a$
  • 于是,按照 等价关系三律 ,有:
    • $S$ 中任一元素,必属于某一非空等价类
    • 任意两个等价类 $S_a 和 S_b$,当且仅当 $a\sim b$ 时,有 $S_a=S_b$,而且在相反情形下,有 $S_a\cap S_b=\phi$
  • 集 $S$ 可按等价关系分解成互不相交的非空子集(等价类)之和
  • 把集合 $S$ 表示成某些互不相交的非空子集之和的任意一种分解,都相应地在 $S$ 中确定了一个等价关系
  • 在模 $p$ 的同余关系下,整数集即分解为 $p$ 个互不相交的非空子集(模 $p$ 同余类)之和。
  • 问:在具有 $n$ 个元素的有限集中,可以定义多少种不同的等价关系?
  • 答:
    • 因为集 $S$ 可按等价关系分解成 互不相交非空子集 之和
    • 所以题中的集合,最多可以分解为 $n$ 个互不相交的非空子集,即有 $n$ 种等价关系
  • 如果在集 $S$ 上有两种等价关系“$\sim$”和“$\sim^{'}$”
  • 证明:
    • 由 $a\sim b$ 可推出 $a\sim ^{'} b$ 的充要条件是:
    • 等价关系“$\sim$”的每个等价类都是等价关系“$\sim^{'}$”的等价类的非空子集。
  • 证明:
    • 充分性:
      • 现有等价关系“∼”的 每个 等价类, 都是 等价关系“∼′”的等价类的非空子集
      • 则有 $a\sim b$,$a,b$ 属于同一类,即 $a,b$ 为等价类,记为 $S_1$
      • 及有 $c\sim^{'} d$,$c,d$ 属于同一类,即 $c,d$ 为等价类,记为 $S_2$
      • 且有 每个 $a\in S_2,b\in S_2 (a\notin \phi,b\notin \phi)$
      • 则必有 $a=c,b=d$
      • $\to a\sim^{'} b$
    • 必要性:
      • 由 $a\sim b$ 可知,$a,b$ 属于等价类 $S_1$
      • 由 $a\sim^{'} b$ 可知,$a,b$ 属于等价类 $S_2$
      • 可知 $S_1,S_2$ 至少有交集
      • 若属于 $S_1$ 的元素,必属于 $S_2$,可知 $S_1$ 是 $S_2$ 的子集
      • $\to 结论$

定义 9 顺序关系

  • 一个集合 $S$ 称为是 有序 的,假如在其元素之间定义了一种顺序关系“$\prec$”,满足下述公理:
    • 对于 $S$ 中任意两个元素 $a,b$,有且仅有下述三者之一: $a\prec b,b\prec a,a=b$
    • 由 $a\prec b, b\prec c,可以推得:a\prec c$
  • 在一个有序集里,若 $a\prec b$,则称 $a$ 在 $b$ 之 ,或 $b$ 在 $a$ 之 。亦可记为 $b\succ a$

定义 10 保序映射,有序集相似

  • $A,B$ 是两个有序集,若存在 $A$ 到 $B$ 的映射 $f$,使得对于 $A$ 中任意两个元素 $a\prec b$,都有 $f(a)\prec f(b)$, 则称映射 $f$ 是 保序 的。若保序映射是 一对一映上 的,则称有序集 $A$ 与 $B$ 是 相似 的。
  • 有序集 之间的 相似关系 ,是一种 等价关系
  • 有理数集上定义一个异于大小顺序的顺序关系
    • 有理数是能够表示成两个整数之比的数,包括 整数有限小数无限循环小数整数分数 统称为有理数
    • $\frac{-1^n}{n}$,与0的距离,每步从左右两侧,按照顺序,趋近于0,满足题目要求。
  • 证明按自然数的大小顺序,任意两个无限的自然数集都是相似的有序集
    • 若对于任何 $b\in B$,都仅有唯一的 $a \in A$,使 $f(a)=b$,则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 上的 一对一的映射
    • 若 $f(A)=B$ 则称 $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的映射(简称 $f$ 为 映上的
    • 若保序映射是一对一映上,则称有序集是相似的
    • 自然数集的任一两个无限子集,都可以建立一对一的映射,并且按照自然数的大小顺序,满足相似的定义,所以得证
  • 举例说明按有理数的大小顺序,存在无限多个两两不相似的有理数无限子集
    • $A=|x|$
    • $B=x^2$
    • $C=x^4$
    • $D=x^{2n},\ \ (x为有理数,n\in N)$
    • 由于不能一对一映射(x可为正负),所以不相似

代数运算和代数系

定义 11 代数运算,代数系

  • 对于集合 $A$ 来说,如果存在着一种法则,使得 $A$ 中任意两个元素组成的 序偶 $(a,b)$ ,必唯一地对应于 $A$ 中的一个元素 $c$,则称在集合 $A$ 内确定了一种 代数运算 .
  • 一个集合,如果在它上面定义了适合某些规则的一种(或多于一种)代数运算,就称为是一个 代数系
  • 备注:$(a,b)$ 与 $(b,a)$ 是不同的 序偶 ,它们所对应的元素,未必是相同的。
  • 有理数的集合,是具有两种独立的代数运算--加法和乘法的代数系
  • 其他的数集合,如自然数集、整数集、实数集、复数集,也都是具有两种独立代数运算的代数系
  • 力学中的
    • 速度
    • 加速度
  • 几何学中的
    • 矢量
  • 代数学中的
    • 多项式
    • 矩阵
  • 分析学中的
    • 函数
    • 算子
  • ... 都是代数运算的对象
  • 加法的逆运算:减法;凡有减法运算的代数系,必有零元素0:负元
  • 乘法的逆运算:除法;凡有除法运算的代数系,必有单位元素1,逆元
  • 自然数系的加法和乘法运算,$a+x=b,ax=b$ 并不总是有解,因此没有逆运算
    • 自然数系对于减法和除法,是 不封闭 的。
  • 整数系的加法有逆运算减法,但乘法没有逆运算除法
    • 整数系对于减法是封闭的,对于除法是不封闭的

定义 12 群,交换群(阿贝尔Abel群),半群

  • 具有一种代数运算的代数系,假如这一运算满足 结合律 ,并且具有 逆运算 ,则称此代数系为 .
    • 若这一运算同时又满足 交换律 ,则称为 交换群阿贝尔 $(Abel)$ 群
    • 若具有 逆运算 的条件不成立,则此代数系就称为 半群 .
  • 对于加法群,方程 $a+x=b$ 恒有解
  • 对于乘法群,方程 $ax=b$ 恒有解
  • 自然数系
    • 对于加法和乘法,都构成 半群 (逆运算不成立,对于减法和除法不封闭)
  • 整数系
    • 对于 加法 构成 (逆运算成立,对于减法封闭)
    • 对于 乘法 构成 半群 (逆运算不成立,对于除法不封闭)
  • 分数系(正有理数集)
    • 对于加法构成 半群
    • 对于乘法构成
  • 有理数系
    • 对于加法构成
    • 其非零数对于乘法亦构成
  • 上述群均为交换群
  • 代数运算:交换律、结合律、分配律、消去律、零元或单位元、负元或逆元

定义 13 环,域

  • 设代数系 $A$ 具有两种代数运算 -- 加法 和 乘法
    • 对于加法,它为一 交换群. (满足交换律,逆运算成立)
    • 对于乘法,为一 半群 .(逆运算不成立,除法为不封闭)
  • 并且
    • 对于加法和乘法,满足分配律
    • 称 $A$ 为 .
  • 一个 ,若其所有非零元素对 乘法 构成 交换群 ,则称为 .

  • ,是一个对于加、乘,及其逆运算减、除(除去零元素)均为 封闭 的代数系,这是一种最为重要的代数系
  • 数系 范围内
    • 整数系、分数系 均是
    • 有理数系、实数系、复数系 均为
  • $Z_p$ 是整数环的模 $p$ 同余类集
  • 若 $a,b$ 为任两整数,以 $\overline{\overline{a}},\overline{\overline{b}}$ 分别表示以 $a,b$ 为代表的模 $p$ 同余类
  • 证明在 $Z_p$ 上可定义加法与乘法如下:
    • $\overline{\overline{a}}+\overline{\overline{b}}\equiv \overline{\overline{a+b}}$
    • $\overline{\overline{a}}\cdot \overline{\overline{b}}\equiv \overline{\overline{ab}}$
  • 证明
      • $a^{'}\equiv a\pmod{p}$
      • $b^{'}\equiv b\pmod{p}$
    • $(a^{'}+b^{'})-(a+b)=(a^{'}-a)+(b^{'}-b)$
    • $a^{'}b^{'}-ab=a^{'}b^{'}-a^{'}b+a^{'}b-ab=a^{'}(b^{'}-b)+b(a^{'}-a)$
    • 而 $(b^{'}-b),(a^{'}-a)$ 可为 $p$ 整除
    • 可知,同余类集 $Z_p$ 的代数运算,必具有整数环运算同样的性质,因此 $Z_p$也是一个环。
  • 当 $p$ 为一素数时,$Z_p$ 为一域(证明可参考教材)
  • 设 $Q$ 为有理数域,记 $Q(\sqrt{2})$ 为所有形如 $a+b\sqrt{2}$ 的数组成的集合
  • 其中 $a,b$ 为 $Q$ 中任意有理数
  • 证明 $Q(\sqrt{2})$ 是一个域
    • 设 $\alpha=a+b\sqrt{2},\beta=c+d\sqrt{2}$ 为 $Q(\sqrt{2})$ 中任意两个数
    • 定义它们之间的加法与乘法如下:
      • $\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}$
      • $\alpha \beta=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}$
    • 上述定义的运算满足交换、结合、分配律
    • 零元素时,$a=b=c=d=0$
    • 单位元素时,$a=c=1,b=d=0$
    • 非零元素时有逆元素

序 环(域)

定义 14 可序,正元素集

  • 一环(或域)$F$ 称为是 可序 的,假如存在它的一个真子集 $P$,称为 $F$ 的 正元素集 ,满足以下性质:
    • 对于任一 $a\in F$,下列三者居且仅居其一:$a\in P,a=0,-a\in P$
    • 若 $a\in P, b\in P$,则 $a+b\in P$
    • 若 $a\in P, b\in P$,则 $ab\in P$

命题 4

  • $F$ 为一可序域,$P$ 为其正元素集,则对于任意非零元素 $a\in F$,必有 $a^2\in P$,特别地 $F$ 的单位元 $1\in P$
  • 在可序环(域)中,可以得到一种在加法和乘法运算下保持不变的顺序关系(大小关系)
  • 设 $F$ 为一可序环(域),$P$ 为其正元素集,在 $F$ 上定义顺序关系:
    • 对于 $F$ 中任意两元素 $a,b$,若 $b-a\in P$,则称 $a$ 小于 $b$,记为 $a<b$

命题 5

  • 设 $F$ 为有序环(域),“$<$”是 $F$ 上用正元素集 $P$ 所规定的顺序,$a,b,c$ 为 $F$ 上任意元素,则有:
    • 若 $a<b$,则 $a+c<b+c$;
    • 若 $a<b,c>0$,则 $ac<bc$;
    • 若 $a<b,c<0$,则 $ac>bc$.

定义 15 绝对值

- 设 $F$ 为有序环(域),$F$ 的任一元素 $a$ 的绝对值 $|a|$ 规定为:

$ |a|=\begin{cases} a,当 a>0 \\ 0,当 a=0 \\ -a,当 a<0 \end{cases} $

  • 按定义,有
    • $|ab|=|a||b|$
    • $|a+b|\leq |a|+|b|$
    • $|a|-|b|\leq |a-b|$

同构与扩张

  • 一个环的子集,若对于加、减、乘运算封闭,则仍为一个环,称为该环的 子环
  • 一个域的子集,若仍为一域,则称为该域的 子域 .

定义 16 同构,同构映射,序同构

  • $A,B$ 是两个各具有加、乘运算的代数系,若存在 $A$ 到 $B$ 上的一个一对一的映射 $f$,使得对于 $A$ 中任意两个元素 $a,b$,都满足条件:
    • $f(a+b)=f(a)+f(b)$
    • $f(ab)=f(a)f(b)$
    • 则称代数系 $A,B$ 是 同构 的,此时 $f$ 称为 $A,B$ 间的一个 同构映射
  • 若 $A,B$ 同时又是有序集合,并且 $A,B$ 间的同构映射 $f$ 还满足条件
    • 若 $a\prec b$,则 $f(a)\prec f(b)$
    • 则称 $A$ 和 $B$ 是 序同构
  • 从代数学的观点看,两个代数系若同构,则它们具有同样的代数性质
    • 其代数构造完全相同(仅元素的表示形式不同而已)
    • 同构的代数系并没有什么区别

定义 17 扩张

  • 两个代数系 $A,B$,若 $A$ 与 $B$ 的一个子集同构,则称 $B$ 是 $A$ 的一个 扩张 .
  • 代数系的扩张
    • 所谓代数系的扩张,并不是形式上在旧的代数系上面添加新的元素
    • 而是在旧的代数系之外去构造一个新的代数系
    • 这个新的代数系,其元素在形式上与旧的可以完全不同
    • 但是它包含一个与旧代数系同构的子集
    • 因而从代数上来看,它是旧代数系的扩张

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