前言¶
每年（或许是从11月份开始，或许是从9月份开始），企业中层管理人员都要忙于做预算了。
预算的重中之重，自然是销售预算。
尽管理论上有零基预算、弹性预算等等，但是在实际操作上，恐怕使用最多的方法还是“拍脑袋预算”！
什么是“拍脑袋预算”呢？
就是高层简单粗暴地要求：明年的销售收入预算，要比今年增长40%、60%，或者80%......
从前一位集团董事长和下属公司总经理编制年度预算，董事长因势利导引诱总经理多次拔高销售预测...结果，年终将近，预算没有实现，董事长责怪总经理没有完成预算，总经理委屈地说：“当初我们就没有定那么高的预算，是您一再要求我们，说是即便达不到，但是目标还是可以放高远一点的嘛......”
这不是一个笑话！特别是绩效考核与预算实现程度挂钩的情况下，这事儿更加纠结......
这年头和钱有关的还有什么事情是确定的呢？政策、市场、跨界打劫者、双边多边关系...瞬息万变，预算到底应该定到多高，谁能知道呢？
把责任推给自动化¶
如果有一种大家都认可的方法，可以自动计算出预算值，那就好了！
焦点转移¶
100%完全自动化是不可能的，也不符合直觉。
但是，可以转移争议的焦点，从争论预算值是高了还是低了？，转移为应该更加关注过去，还是关注现在。
或者也可以说，是当前期间数据对预测值的影响更大，还是前期历史数据对预测值的影响更大？
客观确定 $\alpha$ 值¶
这个焦点，就是 $\alpha$ 值的确定。
- 当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，应选较小的 $\alpha$ ，一般可在0.05~0.20之间取值
- 当时间序列有波动，但长期趋势变化不大时，可选稍大的 $\alpha$ 值，常在0.1~0.4之间取值
- 当时间序列波动很大，长期趋势变化幅度较大，呈现明显且迅速的上升或下降趋势时，宜选择较大的 $\alpha$ 值，如可在0.6~0.8间选值，以使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上数据的变化
- 当时间序列数据是上升（或下降）的发展趋势类型，$\alpha$ 应取较大的值，在0.6~1之间
时间序列分析方法¶
时间序列就是按时间顺序排列的，随时间变化的数据序列。譬如我们熟知的GDP，CPI、销售额，顾客数，访问量...
随机过程的特征包括均值、方差、协方差等。如果随机过程的特征随着时间变化，则称此过程是非平稳的；如果随机过程的特征不随时间而变化，就称此过程是平稳的。
非平稳时间序列分析时，如果导致非平稳的原因是确定的，可以用的方法主要有趋势拟合模型、季节调整模型、移动平均、指数平滑等方法。如果导致非平稳的原因是随机的，方法主要有ARIMA（autoregressive integrated moving average）及自回归条件异方差模型等。
均值¶
$$\overline{X} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$$
方差¶
方差用于描述随机变量对于数学期望的偏离程度，等于各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，分离散型和连续型两种，称为标准差或均方差。
标准差：$$s = \sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}{n-1} }$$
方差：$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})^2}{n-1}$$
协方差¶
标准差和方差描述的是一维数据，而协方差是用来度量两个随机变量关系的统计量。大于两个随机变量的就是协方差矩阵。
协方差统计结果的意义
如果结果为正值，说明两者是正相关的
如果结果为负值，说明两者是负相关的
* 如果结果为0，说明两者不线性相关
$$cov(X,Y)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{n-1}$$
自动化模型的选择¶
一方面，导致非平稳的原因，于汇市、股市而言是不确定的，因为很难有一股决定性力量可以左右大势（A股或许除外），而企业销售额，固然市场千变万化，但是一般情况下主要还是可以由产品特性、市场营销等手段来主导。所以，导致非平稳的原因，于企业销售额而言是基本可确定的。
另一方面，趋势拟合只是对不具有线性关系的离散点拟合出一条逼近直线、简单移动平均因为缺乏权数调整而与现实不符、季节性调整在月份预测中有效，但年度预测无效。或许经济周期可以是一个考虑因素，但对于仅仅预测一年或者两年，则经济周期的影响非常有限。
综上所述，指数平滑方法对于企业销售是一种最有效的方法。
准备数据¶
已知数据：从1997年到2016年，每年的销售额如下图所示：
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
annual= ['2016','2015','2014','2013','2012','2011','2010','2009','2008','2007','2006','2005','2004','2003','2002','2001','2000','1999','1998','1997']
incoming=[12.95,12.07,12.37,12.08,12.10,11.93,11.90,11.95,12.14,12.10,12.09,12.40,12.29,12.41,12.86,13.38,14.03,14.64,15.64,16.57]
annual.reverse()
incoming.reverse()
time_series = pd.Series(incoming)
time_series.index = pd.Index(sm.tsa.datetools.dates_from_range('1997','2016'))
time_series.plot(figsize=(12,6))
plt.show()
一次指数平滑¶
配置一次指数平滑函数¶
def exSm(a):
se=[]
for i in range(len(annual)):
pre=0.
if not i == 0:
pre = a * incoming[i]+(1-a)*se[i-1]
else:
pre = a*incoming[i] + (1-a)*(incoming[0]+incoming[1]+incoming[2])/3
se.append(round(pre,2))
predict=a*incoming[-1]+(1-a)*se[-1]
newyear=['2017']
annual_pre=annual+newyear
i=[]
i.append(incoming[-1])
incom_pre=incoming+i
se.append(predict)
x = annual_pre
y1= incom_pre
y2= se
xmark=[annual[-1],annual[-1]]
ymark=[min(se),max(se)]
fig = plt.figure(figsize=(12,6))
l1, = plt.plot(x, y1, 'r--', label="imcoming", marker ='o')
l2, = plt.plot(x, y2, 'g-', label="$ES^{(1)}$", marker ='o')
l3, = plt.plot(xmark, ymark, 'b-')
plt.legend(handles=[l1, l2], loc = 0, frameon=False, fontsize=16)
plt.grid(True)
plt.show()
一次指数平滑效果图¶
$\alpha=0.2$¶
exSm(0.2)
$\alpha=0.5$¶
exSm(0.5)
$\alpha=0.8$¶
exSm(0.8)
二次指数平滑¶
因为一次指数平滑法不适用于呈斜坡型线性变动的历史数据，所以我们选择使用二次指数平滑法。
配置二次指数平滑函数¶
def exSm(a):
se=[]
for i in range(len(annual)):
pre=0.
if not i == 0:
pre = a * incoming[i]+(1-a)*se[i-1]
else:
pre = a*incoming[i] + (1-a)*(incoming[0]+incoming[1]+incoming[2])/3
se.append(round(pre,2))
pred=a*incoming[-1]+(1-a)*se[-1]
se2=[]
se2.append(se[0])
for j in range(1, len(annual)):
pre2=a * se[j] + (1-a) * se2[j-1]
se2.append(round(pre2,2))
at = 2*se[-1]-se2[-1]
bt = a/(1-a) * (se[-1]-se2[-1])
Y_next = round((at+bt*1),2)
Y_next_next = round((at+bt*2),2)
newyear=['2017','2018']
annual_pre=annual+newyear
i=[]
i.append(incoming[-1])
i.append(incoming[-1])
incom_pre=incoming+i
se.append(pred)
se.append(pred)
se2.append(Y_next)
se2.append(Y_next_next)
x = annual_pre
y1= incom_pre
y2= se
y3=se2
xmark=[annual[-1],annual[-1]]
ymark=[min(se2)*0.95,max(se2)]
fig = plt.figure(figsize=(12,6))
l1, = plt.plot(x, y1, 'r--', label="imcoming", marker ='o')
l2, = plt.plot(x, y2, 'g--', label="$ES^{(1)}$", marker ='o')
l3, = plt.plot(x, y3, 'k-', label="$ES^{(2)}$", marker ='o')
l4, = plt.plot(xmark, ymark, 'b-')
plt.legend(handles=[l1, l2, l3], loc = 0, frameon=False, fontsize=16)
plt.grid(True)
plt.show()
mm=pd.DataFrame(x,columns=['x'])
mm=pd.concat([mm,pd.DataFrame(y1,columns=['y1'])],axis=1)
mm=pd.concat([mm,pd.DataFrame(y2,columns=['y2'])],axis=1)
mm=pd.concat([mm,pd.DataFrame(y3,columns=['y3'])],axis=1)
print(mm)
二次指数平滑效果图¶
$\alpha=0.3$¶
exSm(0.3)
$\alpha=0.5$¶
exSm(0.5)
$\alpha=0.7$¶
exSm(0.7)
指数平滑模型¶
模型计算公式¶
一次指数平滑公式¶
$$\gamma_{t+1}^*=\alpha \gamma_{t}+(1-\alpha)\gamma_t^*$$
其中：
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $\gamma_{t+1}^*$ | t+1 期的预测值（或称本期 ( t 期)的平滑值 $S_t$） |
| $\gamma_t$ | t 期的实际值 |
| $\gamma_t^*$ | t 期的预测值，即上期的平滑值 $S_{t-1}$ |
二次指数平滑公式¶
利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型，故称为二次指数平滑法。
$$S_t^{(2)}=\alpha S_t^{(1)}+(1-\alpha)S_{t-1}^{(2)}$$
其中：
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $S_t^{(2)}$ | 第 t 周期的二次指数平滑值 |
| $S_t^{(1)}$ | 第 t 周期的一次指数平滑值 |
| $S_{t-1}^{(2)}$ | 第 t-1 周期的二次指数平滑值 |
| $\alpha$ | 加权系数（也称为平滑系数） |
二次指数平滑预测公式¶
二次平滑指数不能单独地进行预测，必须与一次指数平滑法配合，建立预测的数学模型，然后运用数学模型确定预测值。
$$\hat{Y}_{t+T}=a_t + b_t\bullet T$$
其中：
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $\hat{Y}_{t+T}$ | t+T 的预测值 |
| $T$ | t 期到预测期的间隔期数 |
| $a_t , b_t$ | 参数 |
其中参数$a_t$和$b_t$的计算公式为：
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{lr}
a_t=2S_t^{(1)}-S_t^{(2)} & \\
b_t=\dfrac{\alpha}{1-\alpha}(S_t^{(1)}-S_t^{(2)}) & \\
\end{array}
\right.
\end{equation}
其中$S_t^{(1)}$和$S_t^{(2)}$分别为一次和二次指数平滑值，其计算公式为： $$S_t^{(1)}=\alpha x_t^{(1)}+(1-\alpha)S_{t-1}^{(1)}$$
$$S_t^{(2)}=\alpha S_t^{(1)}+(1-\alpha)S_{t-1}^{(2)}$$
模型理论基础¶
参考文章《推导指数平滑法预测模型的参数计算公式》.
